Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線y=x²-6x+1與坐標(biāo)軸的交點都在圓心為C的圓上．
（1）求圓C的方程；
（2）若圓C與直線x-y+a=0交于A，B兩點，且CA⊥CB，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出與y軸，x軸的交點坐標(biāo)，可以看出圓心在x=3直線上，可設(shè)C的圓心為（3，t），利用條件求出方程；
（Ⅱ）根據(jù)直線與圓的關(guān)系，可得AB=3$\sqrt{2}$，利用點到直線的距離公式可得$\frac{{{|}3-1+a{|}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，求出a的值．

解答 （Ⅰ）解：曲線y=x²-6x+1與y軸的交點為（0，1），…（1分）
與x軸的交點為$（3+2\sqrt{2}，0）$，$（3-2\sqrt{2}，0）$，…（3分）
∴可設(shè)C的圓心為（3，t），則有$9+{（t-1）^2}={（2\sqrt{2}）^2}+{t^2}$，解得t=1，
∴圓C的半徑為$\sqrt{9+{{（t-1）}^2}}=3$，
∴圓C的方程為（x-3）²+（y-1）²=9…（6分）
（Ⅱ）CA⊥CB，
∴AB=3$\sqrt{2}$，
∴C到AB的距離為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{{{|}3-1+a{|}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
∴a=1或-5．…（12分）

點評 考查了圓方程的求解和圓與直線的位置關(guān)系和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型．