Question

13．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，以|F₁F₂|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為（1，2），則此雙曲線方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$
• B． ${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$
• C． ${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$
• D． $\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$

Answer 1

分析 由題意知c=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，點（1，2）在y=$\frac{a}$x上，由此能求出雙曲線的方程．

解答 解：∵雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，
以|F₁F₂|為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為（1，2），
∴由題意知c=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴a²+b²=5，①
又點（1，2）在y=$\frac{a}$x上，∴$\frac{a}=2$，②
由①②解得a=1，b=2，
∴雙曲線的方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線方程的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意雙曲線簡單性質(zhì)的合理運用．