Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+$\frac{a}{x}$+b，g（x）=kx，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x-y+e-3=0（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求a，b；
（Ⅱ）若x＞0時，f（x）＞g（x），求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，由已知切線的方程，解方程可得a，b；
（Ⅱ）由題意可得x＞0時，$\frac{{e}^{x}}{x}$-$\frac{1}{x}$-1＞kx，即e^x-1-x＞kx²，由h（x）=e^x-1-x，求出導(dǎo)數(shù)，可得e^x≥1+x，由m（x）=e^x-1-x-kx²，求得導(dǎo)數(shù)，討論2k與1的關(guān)系，即可求得k的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$+$\frac{a}{x}$+b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
在點（1，f（1））處的切線斜率為-a，切點為（1，e+a+b），
由切線方程為x-y+e-3=0，可得-a=1，e+a+b=e-2，
解得a=b=-1；
（Ⅱ）x＞0時，f（x）＞g（x），
即為x＞0時，$\frac{{e}^{x}}{x}$-$\frac{1}{x}$-1＞kx，
即e^x-1-x＞kx²，
由h（x）=e^x-1-x的導(dǎo)數(shù)為h′（x）=e^x-1，
當x＞0時，h′（x）＞0，h（x）遞增；當x＜0時，h′（x）＜0，h（x）遞減．
可得h（x）在x=0處取得最小值0，即有h（x）≥0成立，
即e^x≥1+x，
e^x-1-x-kx²＞0在x＞0恒成立，
由m（x）=e^x-1-x-kx²，m′（x）=e^x-1-2kx，
當2k≤1時，由e^x≥1+x，可得e^x-1-2kx≥e^x-1-x＞0，
則m（x）在x＞0時遞增，即有m（x）＞m（0）=0，
即有e^x-1-x-kx²＞0在x＞0恒成立；
當2k＞1時，e^x-1-x-kx²＞0在x＞0不恒成立．
綜上可得，k的范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，屬于中檔題．