Question

動圓E過點F（1，0），且與直線x=-1相切，圓心E的軌跡是曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點Q（4，2）的任意一條不過點P（4，4）的直線與曲線C交于A，B兩點，直線AB與直線y=x+4交于點M，記直線PA，PB，PM的斜率分別為k₁，k₂，k₃，問是否存在實數(shù)λ，使得k₁+k₂=λk₃恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得曲線C是以A為焦點的拋物線，由此能求出曲線C的方程為y²=4x．
（Ⅱ）設(shè)直線AB為y-2=k（x-4）．由

y-2=k(x-4) y=x+4

，得M（

4k+2

k-1

，

8k-2

k-1

）．k₃=

2k+1

3

．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

y-2=k(x-4) y2=4x

，得k²x²-（8k²-4k+4）x+16k²-16k+4=0．由此能求出k₁+k₂=2k₃．

解答： 解：（Ⅰ）∵點E到A的距離與到直線x=-1的距離相等，
∴曲線C是以A為焦點的拋物線．
設(shè)為y²=2px，p＞0，則

p

2

=1，解得p=2，
故曲線C的方程為y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y-2=k（x-4）．
由

y-2=k(x-4) y=x+4

，得M（

4k+2

k-1

，

8k-2

k-1

）．
∴k₃=

4- 8k-2 k-1

4- 4k+2 k-1

=

2k+1

3

．…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

y-2=k(x-4) y2=4x

，
得k²x²-（8k²-4k+4）x+16k²-16k+4=0．
∴x1+x2=

8k2-4k+4

k2

，x1x2=

16k2-16k+4

k2

．…（8分）
∴k1+k2=

y1-4

x1-4

+

y2-4

x2-4

=

k(x1-4)-2

x1-4

+

k(x2-4)-2

x2-4

=2k-2（

1

x1-4

+

1

x2-4

）
=2k-

2(x1+x2-8)

x1x2-4(x1+x2)+16

=2k-

2( 8k2-4k+4 k2 -8)

16k2-16k+4 k2 -4• 8k2-4k+4 k2 +16

=

4k+2

3

．…（11分）
∴k₁+k₂=2k₃，即λ=2．…（13分）

點評：本題考查曲線方程的求法，考查是否存在實數(shù)λ，使得k₁+k₂=λk₃恒成立的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．