Question

16．已知M（x₀，y₀）是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1上的一點，F(xiàn)₁、F₂是C上的兩個焦點，若∠F₁MF₂為鈍角，則y₀的取值范圍是$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0）∪（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．

Answer 1

分析 利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合雙曲線的方程，即可求出y₀的取值范圍．

解答 解：由題意，∵∠F₁MF₂為鈍角，
∴$\overrightarrow{M{F}_{1}}$•$\overrightarrow{M{F}_{2}}$=（-$\sqrt{3}$-x₀，-y₀）•（$\sqrt{3}$-x₀，-y₀）=x₀²-3+y₀²=3y₀²-1＜0，且3y₀²-1≠-1
∴-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜y₀＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$且y₀≠-1．
∴y₀的取值范圍是$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0）∪（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．
故答案為：$（-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0）∪（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積公式、雙曲線的方程，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．