Question

5．已知$f（x）=\frac{2^x}{{1+{2^x}}}-\frac{1}{2}$，若[x]是不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)y=[f（x）]-[f（-x）]的值域為（　�。�

• A． [-1，0]
• B． {-1，1}
• C． {-1，0，1}
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 分離常數(shù)便可得到$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{1+{2}^{x}}，f（-x）=-\frac{1}{2}+\frac{1}{1+{2}^{x}}$，根據(jù)2^x＞0，從而可以求出$\frac{1}{1+{2}^{x}}$的范圍，進一步便可得到$-\frac{1}{2}＜f（x）＜\frac{1}{2}$，這樣根據(jù)[x]的定義便可分：$-\frac{1}{2}＜f（x）＜0$，f（x）=0和$0＜f（x）＜\frac{1}{2}$三種情況求出[f（x）]和[f（-x）]，從而可以得出y值，這樣即可求出函數(shù)y=[f（x）]-[f（-x）]的值域．

解答 解：$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{1+{2}^{x}}$，$f（-x）=-\frac{1}{2}+\frac{1}{1+{2}^{x}}$；
2^x＞0；
∴$0＜\frac{1}{1+{2}^{x}}＜1$；
∴$-\frac{1}{2}＜f（x）＜\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}＜f（-x）＜\frac{1}{2}$；
∴①$-\frac{1}{2}＜f（x）＜0$時，$-\frac{1}{2}＜\frac{1}{2}-\frac{1}{1+{2}^{x}}＜0$；
$0＜-\frac{1}{2}+\frac{1}{1+{2}^{x}}＜\frac{1}{2}$；
即$0＜f（-x）＜\frac{1}{2}$；
∴[f（x）]=-1，[f（-x）]=0；
∴[f（x）]-[f（-x）]=-1；
②f（x）=0時，$\frac{1}{2}-\frac{1}{1+{2}^{x}}=0$；
∴f（-x）=0；
∴[f（x）]=0，[f（-x）]=0；
∴[f（x）]-[f（-x）]=0；
③$0＜f（x）＜\frac{1}{2}$時，$0＜\frac{1}{2}-\frac{1}{1+{2}^{x}}＜\frac{1}{2}$；
∴$-\frac{1}{2}＜-\frac{1}{2}+\frac{1}{1+{2}^{x}}＜0$；
即$-\frac{1}{2}＜f（-x）＜0$；
∴[f（x）]=0，[f（-x）]=-1；
∴[f（x）]-[f（-x）]=0-（-1）=1；
∴綜上得，函數(shù)y=[f（x）]-[f（-x）]的值域為{-1，0，1}．
故選：C．

點評 考查函數(shù)值域的概念，指數(shù)函數(shù)的值域，根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)的取值范圍的方法，理解[x]的定義．