Question

6．已知圓C的半徑為1，圓心C在直線3x-y=0上．
（Ⅰ）若圓C被直線x-y+3=0截得的弦長為$\sqrt{2}$，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點A（0，3），若圓C上總存在兩個點到點A的距離為2，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若圓C被直線x-y+3=0截得的弦長為$\sqrt{2}$，利用勾股定理，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）由題意，問題等價于圓A和圓C相交時，求圓心C橫坐標(biāo)a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）因為圓心C在直線3x-y=0上，所以設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（a，3a），
因為圓C的半徑為1，圓C被直線x-y+3=0截得的弦長為$\sqrt{2}$，
所以圓心C到直線x-y+3=0的距離$d=\sqrt{{1^2}-{{（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又$d=\frac{{|{a-3a+3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{2a-3}|}}{{\sqrt{2}}}$，所以$\frac{{|{2a-3}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解得a=1或a=2，所以圓心C的坐標(biāo)為（1，3）或（2，6）．
所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-1）²+（y-3）²=1或（x-2）²+（y-6）²=1．（6分）
（Ⅱ）設(shè)圓A：x²+（y-3）²=4，由（Ⅰ）設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（a，3a）．
由題意，問題等價于圓A和圓C相交時，求圓心C橫坐標(biāo)a的取值范圍，即：$1＜\sqrt{{a^2}+{{（3a-3）}^2}}＜3$，
由$\sqrt{{a^2}+{{（3a-3）}^2}}＞1$整理得5a²-9a+4＞0，解得$a＜\frac{4}{5}$或a＞1；
由$\sqrt{{a^2}+{{（3a-3）}^2}}＜3$整理得5a²-9a＜0，解得$0＜a＜\frac{9}{5}$．
所以$0＜a＜\frac{4}{5}$或$1＜a＜\frac{9}{5}$．（6分）

點評 本題考查圓的方程的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系，考查分析問題解決問題的能力．