Question

8．已知不等式$\frac{x-a}{{x}^{2}+x+1}$＞$\frac{x+a}{{x}^{2}-x+1}$．
（1）若不等式在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a使不等式的解集為（-1，4）．

Answer 1

分析 （1）先判斷分母的符號，將原不等式化簡，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)從而求出a的范圍；
（2）假設(shè)存在，得到a的大致范圍，求出x的解集，從而得到矛盾，假設(shè)不成立．

解答 解：（1）∵x²+x+1＞0，x²-x+1＞0，
∴原不等式可化為：（x²-x+1）（x-a）＞（x²+x+1）（x+a），
∴（a+1）x²+a＜0在R上恒成立，
令f（x）=（a+1）x²+a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+1＜0}\\{△=-4a（a+1）＜0}\end{array}\right.$，解得：a＜-1；
當(dāng)a=-1時，f（x）=-1＜0在R上恒成立，
綜上：a≤-1．
（2）由（1）得：原不等式為：（a+1）x²+a＜0，①
若存在實(shí)數(shù)a使不等式的解集為（-1，4），
則$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{a+1＞0}\end{array}\right.$，即-1＜a＜0，
解不等式①得：-$\sqrt{\frac{a}{a+1}}$＜x＜$\sqrt{\frac{a}{a+1}}$，
∴$\sqrt{\frac{a}{a+1}}$=1或4，無解，
故不存在實(shí)數(shù)a使不等式的解集為（-1，4）．

點(diǎn)評 本題考查了解不等式問題，考查函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．