Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A為橢圓上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{AO}$．
（1）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，$\sqrt{2}$），求橢圓的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P的一條直線交橢圓于B，C兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{BP}$=m$\overrightarrow{BC}$，直線OA，OB的斜率之積為-$\frac{1}{2}$，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得A（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），代入橢圓，得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1$，再由橢圓離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），推導(dǎo)出P（-2x₁，-2y₁），（-2x₁-x₂，-2y₁-y₂）=m（x₃-x₂，y₃-y₂），從而得到$\frac{4}{{m}^{2}}$（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$）+$\frac{（m-1）^{2}}{{m}^{2}}$（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$）-$\frac{4（m-1）}{{m}^{2}}$（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{^{2}}$）=1，由直線OA，OB的斜率之積為-$\frac{1}{2}$，得到$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{^{2}}$=0，由此能求出實(shí)數(shù)m的值．

解答 解：（1）∵A為橢圓上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{AO}$，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，$\sqrt{2}$），
∴A（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），代入橢圓，得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1$，①
∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，②
聯(lián)立①②，解得a²=2，b²=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
∵$\overrightarrow{OP}$=2$\overrightarrow{AO}$，∴P（-2x₁，-2y₁），
∵$\overrightarrow{BP}$=m$\overrightarrow{BC}$，∴（-2x₁-x₂，-2y₁-y₂）=m（x₃-x₂，y₃-y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}_{1}-{x}_{2}=m（{x}_{3}-{x}_{2}）}\\{-2{y}_{1}-{y}_{2}=m（{y}_{3}-{y}_{2}）}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{3}=\frac{m-1}{m}{x}_{2}-\frac{2}{m}{x}_{1}}\\{{y}_{3}=\frac{m-1}{m}{y}_{2}-\frac{2}{m}{y}_{1}}\end{array}\right.$，
代入橢圓，得$\frac{（\frac{m-1}{m}{x}_{2}-\frac{2}{m}{x}_{1}）^{2}}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{m-1}{m}{y}_{2}-\frac{2}{m}{y}_{1}）^{2}}{^{2}}$=1，
即$\frac{4}{{m}^{2}}$（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$）+$\frac{（m-1）^{2}}{{m}^{2}}$（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$）-$\frac{4（m-1）}{{m}^{2}}$（$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{^{2}}$）=1，③
∵A，B在橢圓上，∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1，④
∵直線OA，OB的斜率之積為-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
結(jié)合②，知$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{^{2}}$=0，⑤
將④⑤代入③，得$\frac{4}{{m}^{2}}+\frac{（m-1）^{2}}{{m}^{2}}$=1，
解得m=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．