Question

18．函數(shù)y=（sinx-2）（cosx-2）的值域是（　�。�

• A． [$\frac{9}{2}$-2$\sqrt{2}$，$\frac{9}{2}$+2$\sqrt{2}$]
• B． [$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$+2$\sqrt{2}$]
• C． [$\frac{3}{2}$，+∞）
• D． [$\frac{9}{2}$-2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可得sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，y=$\frac{1}{2}$（t-2）²+$\frac{3}{2}$，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的值域．

解答 解：函數(shù)y=（sinx-2）（cosx-2）=sinx•cosx-2（sinx+cosx）+4，
令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，可得sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
y=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$-2t+4=$\frac{1}{2}$（t²-4t+4）+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$（t-2）²+$\frac{3}{2}$，
故當(dāng)t=$\sqrt{2}$時，函數(shù)y取得最小值為$\frac{9}{2}$-2$\sqrt{2}$，當(dāng)t=-$\sqrt{2}$時，函數(shù)y取得最大值為$\frac{9}{2}$+2$\sqrt{2}$，
故選：A．

點評 本題主要考查同角三角的基本關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．