Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+2|-|x-3|-a
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）若f（x）≤$\frac{4}{a}$對任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)，可得|x+2|-|x-3|≤|（x+2）-（x-3）|=5，即可得到f（x）的最大值；
（Ⅱ）f（x）≤$\frac{4}{a}$對任意x∈R恒成立，即為f（x）_max=5-a≤$\frac{4}{a}$，解不等式可得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x+2|-|x-3|-1，
由|x+2|-|x-3|≤|（x+2）-（x-3）|=5，
故f（x）≤4，
所以，當(dāng)x≥3時(shí)，f（x）取得最大值，且為4；
（Ⅱ）f（x）≤$\frac{4}{a}$對任意x∈R恒成立，即為f（x）_max=5-a≤$\frac{4}{a}$，
即為$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{a}^{2}-5a+4≥0}\end{array}\right.$即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≥4或a≤1}\end{array}\right.$，
即為a≥4或0＜a≤1．
即有a的取值范圍是（0，1]∪[4，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查絕對值不等式的性質(zhì)和不等式恒成立問題的解法，同時(shí)考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．