Question

【題目】對于定義域為I的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]I，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；
②當(dāng)定義域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，則稱[m，n]是函數(shù)y=f（x）的“好區(qū)間”．
（1）設(shè)g（x）=loga（ax﹣2a）+loga（ax﹣3a）（其中a＞0且a≠1），求g（x）的定義域并判斷其單調(diào)性；
（2）試判斷（1）中的g（x）是否存在“好區(qū)間”，并說明理由；
（3）已知函數(shù)P（x）= （t∈R，t≠0）有“好區(qū)間”[m，n]，當(dāng)t變化時，求n﹣m 的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意： ，解得：ax＞3a，

①當(dāng)a＞1時，x＞log3（3a），函數(shù)此時定義域D=（log3（3a），+∞）．

設(shè)x1＜x2，x1，x2∈D，

∵ ，∴0＜ ，0＜ ，

∴ ， ，

∴g（x2）＞g（x1）

故得函數(shù)g（x）在定義域D=（log3（3a），+∞）內(nèi)是增函數(shù)．

②當(dāng)0＜a＜1時，x＜log3（3a），函數(shù)此時定義域D=（﹣∞，log3（3a））．

同理可證g（x）在定義域D=（﹣∞，log3（3a））內(nèi)是增函數(shù)

（2）解：假設(shè)g（x）存在“好區(qū)間”，由（1）可知m，n∈D（m＜n，

由新定義有： 關(guān)于x的方程在定義域D內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根．

即（ax﹣2a）（ax﹣3a）=ax在定義域D內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根．（*）

設(shè)t=ax，則（*）（t﹣2a）（t﹣3a）=t，即t2﹣（5a+1）t+6a2=0在（3a，+∞）內(nèi)有兩個不等的實數(shù)根，

令t2﹣（5a+1）t+6a2=P（t），

則 ，解得：a無解．

所以函數(shù)g（x）不存在“好區(qū)間”

（3）解：由題設(shè)，函數(shù)P（x）= = （t∈R，t≠0）有“好區(qū)間”[m，n]，其定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），

∴[m，n]（﹣∞，0）或[m，n]（0，+∞），

根據(jù)反比例的性質(zhì)，函數(shù)P（x）= 在[n，m]上單調(diào)遞增，

則 ，所以m，n是方程p（x）=x實數(shù)根．

即方程t2x2﹣（t2+t）x+1=0有同號的相異實數(shù)根．

∵mn= ＞0，mn同號，

∴△=（t2+t）﹣4t2＞0或t＜﹣3，解得：t＞1或t＜﹣3．

m﹣n= ，

當(dāng)t=3，n﹣m得最大值

【解析】（1）根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0，在討論底數(shù)a與1的大小可得定義域．定義證明單調(diào)性．（2）根據(jù)定義域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，建立關(guān)系求解a的值即可判斷．（3）根據(jù)定義域是[m，n]，f（x）值域也是[m，n]，建立關(guān)系，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題配方求解最值．