Question

8．若向量$\overrightarrow a=（\sqrt{2}cosα，\sqrt{2}sinα）$，$\overrightarrow b=（2cosβ，2sinβ）$，且$\frac{π}{6}≤α＜\frac{π}{2}＜β≤\frac{5π}{6}$，若$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow b-\overrightarrow a）$，則β-α的值為（　�。�

• A． $\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{π}{4}$或$\frac{7π}{4}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$表示出$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$，由$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$），得到$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=0，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，由同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，求出β-α的度數(shù)即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα），$\overrightarrow$=（2cosβ，2sinβ），
∴$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$=（2cosβ-$\sqrt{2}$cosα，2sinβ-$\sqrt{2}$sinα），
∵$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$），
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）=0，即$\sqrt{2}$cosα（2cosβ-$\sqrt{2}$cosα）+$\sqrt{2}$sinα（2sinβ-$\sqrt{2}$sinα）=0，
整理得：2$\sqrt{2}$cosαcosβ-2cos²α+2$\sqrt{2}$sinαsinβ-2sin²α=0，即cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴cos（β-α）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{π}{6}$≤α＜$\frac{π}{2}$＜β≤$\frac{5π}{6}$，
∴0＜β-α＜$\frac{π}{2}$，
則β-α=$\frac{π}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．