Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，己知圓C₁：（x+3）²+（y-1）²=25和圓C₂：（x-4）²+（y-2）²=4．
（1）判斷兩圓的位置關(guān)系：
（2）求過兩圓的圓心的直線的方程：
（3）若直線m過圓C₁的圓心，且被圓C₂截得的弦長為2$\sqrt{3}$，求直線m的方程．

Answer 1

分析 （1）利用圓心距與半徑的關(guān)系，判斷兩圓的位置關(guān)系：
（2）利用點(diǎn)斜式，求過兩圓的圓心的直線的方程：
（3）根據(jù)直線和圓相交的弦長公式設(shè)出直線斜率，根據(jù)半弦長、半徑、弦心距滿足勾股定理，解方程求出k值，代入即得直線m的方程．

解答 解：（1）圓C₁：（x+3）²+（y-1）²=25的圓心為（-3，1），半徑為5，圓C₂：（x-4）²+（y-2）²=4的圓心為（4，2），半徑為2，圓心距為$\sqrt{（4+3）^{2}+（2-1）^{2}}$=5$\sqrt{2}$
∵5-2$＜5\sqrt{2}＜$5+2，
∴兩圓相交；
（2）過兩圓的圓心的直線的方程y-1=$\frac{2-1}{4+3}$（x+3），即x-7y+10=0；
（3）直線m過（-3，1），當(dāng)m斜率不存在時(shí)，不滿足條件，
設(shè)m的斜率為k，則m的方程為：y=k（x+3）+1，
∵m被圓C₂截得的弦長為2$\sqrt{3}$，得到m到圓C₂的圓心（4，2）的距離為：d=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1；
即d=$\frac{|7k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即k（24k-7）=0，
∴k=0或k=$\frac{7}{24}$，
∴直線m的方程為：y=1或7x-24y+45=0．

點(diǎn)評 本題主要考查直線方程的求解，根據(jù)直線和圓相交的弦長公式求出直線斜率是解決本題的關(guān)鍵．