Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=4${\;}^{x-\frac{1}{2}}$+2^x+1-1
（1）判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性，并證明；
（2）若對任意t∈R，不等式f（t²-2t）＞f（k-2t²）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）在定義域R上為單調(diào)遞增．運用單調(diào)性的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由f（x）在R上遞增，即為t²-2t＞k-2t²恒成立，運用參數(shù)分離和二次函數(shù)的最值的求法，即可得到k的范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）在定義域R上是單調(diào)遞增．
理由：f（x）=$\frac{1}{2}$（4^x+4•2^x）-1=$\frac{1}{2}$（2^x+2）²-3，
設(shè)m＜n，即有f（m）-f（n）=$\frac{1}{2}$（2^m+2）²-3-$\frac{1}{2}$（2ⁿ+2）²+3
=$\frac{1}{2}$（2^m-2ⁿ）（2^m+2ⁿ+4），
由m＜n，可得2^m＜2ⁿ，即2^m-2ⁿ＜0，則f（m）＜f（n），
故f（x）在R上遞增；
（2）對任意t∈R，不等式f（t²-2t）＞f（k-2t²）恒成立，
由f（x）在R上遞增，即為t²-2t＞k-2t²恒成立，
即有k＜3t²-2t的最小值，
而3t²-2t=3（t-$\frac{1}{3}$）²-$\frac{1}{3}$，當t=$\frac{1}{3}$時，取得最小值-$\frac{1}{3}$．
即有k＜-$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，注意運用定義法，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用單調(diào)性和參數(shù)分離，以及函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．