Question

15．已知集合A={1，2，3}，f、g為集合A到A的函數(shù)，則函數(shù)f、g的像集交為空的函數(shù)對（f，g）的個數(shù)為42．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）、g（x）的象集的交集為空集，需要分三類討論：①f（x）的象集含一個元素，g（x）的象集含一個元素；②f（x）的象集含一個元素，g（x）的象集含兩個元素；③f（x）的象集含兩個元素，g（x）的象集含一個元素，先算出各類的種數(shù)，再求和即可．

解答 解：因為函數(shù)f（x）、g（x）的象集的交集為空集，
考察函數(shù)f（x）的象集，有三種可能：
①f（x）的象集含一個元素，g（x）的象集含一個元素，
此時，f（x）有${C}_{3}^{1}$種，g（x）有${C}_{2}^{1}$種，
則函數(shù)對（f，g）有N₁=${C}_{3}^{1}$•${C}_{2}^{1}$=6種；
②f（x）的象集含一個元素，g（x）的象集含兩個元素，
此時，f（x）有${C}_{3}^{1}$種，g（x）有${C}_{3}^{2}$•${A}_{2}^{2}$種，
則函數(shù)對（f，g）有N₂=${C}_{3}^{1}$•${C}_{3}^{2}$•${A}_{2}^{2}$=18種；
③f（x）的象集含兩個元素，g（x）的象集含一個元素，
此時，f（x）有${C}_{3}^{2}$•${C}_{3}^{2}$•${A}_{2}^{2}$種，g（x）有1種，
則函數(shù)對（f，g）有N₃=${C}_{3}^{2}$•${C}_{3}^{2}$•${A}_{2}^{2}$=18種；
綜合以上討論得，所有符合題意的集合共有N₁+N₂+N₃=42種，
故答案為：42．

點評 本題主要考查了函數(shù)與映射的概念，涉及函數(shù)個數(shù)的確定，交集的運算和排列組合的應(yīng)用，屬于中檔題．