Question

1．如圖，正方形ABCD與正方形ABEF邊長(zhǎng)均為1，且平面ABCD⊥平面ABEF，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=α（0＜α＜$\sqrt{2}$）
（1）求MN的長(zhǎng)度；
（2）當(dāng)α為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最�。�

Answer 1

分析 （1）過(guò)M作MP⊥AB，垂足為P，連接PN．運(yùn)用平行線成比例可得PN∥AF，再由面面垂直的性質(zhì)定理，可得AD⊥AF，根據(jù)勾股定理，我們易得MN²=MP²+PN²，可得MN的長(zhǎng)度；
（2）由二次函數(shù)的性質(zhì)，易得到MN的最小值．

解答 解：（1）過(guò)M作MP⊥AB，垂足為P，連接PN．
∵$\frac{AM}{MC}$=$\frac{AP}{PB}$，$\frac{AM}{MC}$=$\frac{FN}{NB}$，∴$\frac{AP}{PB}$=$\frac{FN}{NB}$，
∴PN∥AF，
平面ABCD⊥平面ABEF，AB⊥AD，
可得AD⊥平面BF，即有AD⊥AF，
即有∠MPN=90°MP=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，PN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
由勾股定理知：MN²=MP²+PN²=（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²
=a²-$\sqrt{2}$a+1=（a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
則MN=$\sqrt{{a}^{2}-\sqrt{2}a+1}$（0＜a＜$\sqrt{2}$）；
（2）MN²=a²-$\sqrt{2}$a+1=（a-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
當(dāng)a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，MN取得最小值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間中兩點(diǎn)之間的距離運(yùn)算，關(guān)鍵是將空間兩點(diǎn)間的距離表示成a的函數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值的問(wèn)題．