Question

10．下列函數(shù)在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（　　）

• A． y=-x³，x∈R
• B． y=lg|x|，x≠0
• C． y=x+$\frac{1}{x}$，x≠0
• D． y=（$\frac{1}{2}$）^x，x∈R

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)、偶函數(shù)及函數(shù)單調(diào)性的定義，以及根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法便可判斷每個選項的函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，從而找出正確選項．

解答 解：A．y=-x³為奇函數(shù)，且x增大時，y減小；
∴該函數(shù)為定義域R上的減函數(shù)，∴該選項正確；
B．y=lg|x|為定義域{x|x≠0}上的偶函數(shù)，∴該選項錯誤；
C.$y′=\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}}$；
∴x∈（-∞，-1），（1，+∞）時，y′＞0，x∈（-1，1）時，y′＜0；
∴函數(shù)y=$x+\frac{1}{x}$在定義域{x|x≠0}上沒有單調(diào)性，∴該選項錯誤；
D.$y=（\frac{1}{2}）^{x}$的圖象不關于原點對稱，不是奇函數(shù)，∴該選項錯誤．
故選：A．

點評 考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，減函數(shù)的定義，以及根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，奇函數(shù)圖象的對稱性，熟悉指數(shù)函數(shù)的圖象．