Question

10．如圖，在平面直角坐標系x Oy中，橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，左頂點 A與上頂點 B的距離為$\sqrt{6}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過原點 O的動直線（與坐標軸不重合）與橢圓C交于 P、Q兩點，直線 P A、Q A分別與y軸交于 M、N兩點，問以 M N為直徑的圓是否經(jīng)過定點？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）利用離心率，勾股定理以及橢圓的幾何量的關(guān)系，列出方程組求解，即可得到橢圓C的標準方程．、
（2）以MN為直徑的圓過定點$F（±\sqrt{2}，0）$．
設(shè)P（x₀，y₀），則Q（-x₀，-y₀），P代入橢圓方程，求出直線PA方程，推出$M（0，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$；求出直線QA方程，推出$N（0，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$；寫出以MN為直徑的圓的方程，然后化簡求出以MN為直徑的圓過定點．

解答 （本小題滿分14分）
解：（1）由題意得 $\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\{a^2}+{b^2}=6\\{a^2}-{b^2}={c^2}\end{array}\right.$
解得$a=2，b=\sqrt{2}$
∴橢圓C的標準方程為：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）以MN為直徑的圓過定點$F（±\sqrt{2}，0）$．
設(shè)P（x₀，y₀），則Q（-x₀，-y₀），且$\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{2}=1$，即$x_0^2+2y_0^2=4$，
∵A（-2，0），∴直線PA方程為：$y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2）$，∴$M（0，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$；
∴直線QA方程為：$y=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（x+2）$，∴$N（0，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$；
以MN為直徑的圓為：$（x-0）（x-0）+（y-\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}+2}}）（y-\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）=0$，
即${x^2}+{y^2}-\frac{{4{x_0}{y_0}}}{{{x_0}^2-4}}y+\frac{{4{y_0}^2}}{{{x_0}^2-4}}=0$，
∵$x_0^2-4=-2y_0^2$，∴${x^2}+{y^2}+\frac{{2{x_0}}}{y_0}y-2=0$，
令y=0，得x²-2=0，解得：$x=±\sqrt{2}$，
∴以MN為直徑的圓過定點：$F（±\sqrt{2}，0）$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，橢圓的綜合應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．