Question

19．如圖所示，曲線C由上半圓C₁：x²+y²=1（y≥0）和部分拋物線C₂：y=x²-1（y≥0）連接而成，A，B為C₁與C₂的公共點（B在原點右側(cè)），過C₁上的點D（異于點A，B）的切線l與C₂分別相交于M，N兩點．
（1）若切線l與拋物績y=x²-1在點D處的切線平行，求點D的坐標．
（2）若點D（x₀，y₀）勾動點時，求證∠MON恒為鈍角．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，利用切線l與拋物線y=x²-1在點D處的切線平行，結(jié)合a²+b²=1，可得點D的坐標；
（2）利用韋達定理，證明x₁x₂+y₁y₂＜0即可．

解答 （1）解：設點D的坐標（a，b），由已知B（1，0），
又y'=2x，所以切線l的斜率k=2，
故$\frac{a}=-\frac{1}{2}$，且a²+b²=1，解得$a=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，b=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
于是點D的坐標為$（-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\frac{{\sqrt{5}}}{5}）$． …（4分）
（2）證明：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）由點D（x₀，y₀）知切線l方程為x₀x+y₀y=1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x_0}x+{y_0}y=1\\ y={x^2}-1\end{array}\right.$$⇒{y_0}{x^2}+{x_0}x-{y_0}-1=0$，
顯然△＞0，有${x_1}+{x_2}=-\frac{x_0}{y_0}，{x_1}{x_2}=-1-\frac{1}{y_0}$，
所以x₁x₂+y₁y₂=${x_1}{x_2}+（x_1^2-1）（x_2^2-1）$=${x_1}{x_2}+x_1^2x_2^2-（x_1^2+x_2^2）+1$=${x_1}{x_2}+{（{x_1}{x_2}）^2}-[{（{x_1}+{x_2}）^2}-2{x_1}{x_2}]+1$
=-1-$\frac{1}{{y}_{0}}$+$（1+\frac{1}{{y}_{0}}）^{2}$-$（\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}+2+\frac{2}{{y}_{0}}）$+1=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$＜0，由此可知$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}＜0$，從而∠MON為鈍角．  …（12分）

點評 本題考查導數(shù)的幾何意義，考查直線與拋物線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．