Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{lo{g}_{3}x|，0＜x＜3}\\{-cos（\frac{π}{3}x），3≤x≤9}\end{array}\right.$，若存在實(shí)數(shù)x₁，x₂，x₃，x₄滿足f（x_l）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則x₁•x₂•x₃•x₄的取值范圍是（27，$\frac{135}{4}$）．

Answer 1

分析 畫出分段函數(shù)的圖象，求得（3，1），（9，1），令f（x_l）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄）=a，作出直線y=a，通過圖象觀察，可得a的范圍，運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和余弦函數(shù)的對稱性，可得x₁x₂=1，x₃+x₄=12，再由二次函數(shù)在（3，4.5）遞增，即可得到所求范圍．

解答 解：解：畫出函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{lo{g}_{3}x|，0＜x＜3}\\{-cos（\frac{π}{3}x），3≤x≤9}\end{array}\right.$的圖象，
令f（x_l）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄）=a，
作出直線y=a，
由x=3時(shí)，f（3）=-cosπ=1；x=9時(shí)，f（9）=-cos3π=1．
由圖象可得，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，直線和曲線y=f（x）有四個(gè)交點(diǎn)．
由圖象可得0＜x₁＜1＜x₂＜3＜x₃＜4.5，7.5＜x₄＜9，
則|log₃x₁|=|log₃x₂|，即為-log₃x₁=log₃x₂，可得x₁x₂=1，
由y=-cos（$\frac{π}{3}$x）的圖象關(guān)于直線x=6對稱，可得x₃+x₄=12，
則x₁•x₂•x₃•x₄=x₃（12-x₃）=-（x₃-6）²+36在（3，4.5）遞增，
即有x₁•x₂•x₃•x₄∈（27，$\frac{135}{4}$）．
故答案為：（27，$\frac{135}{4}$）．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的圖象及運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．