Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?2，2），導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2+cosx，且f（0）=0，則滿(mǎn)足f（1+x）+f（x-x²）＞0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)可知原函數(shù)為定義域內(nèi)的增函數(shù)，且求得原函數(shù)，可知原函數(shù)是奇函數(shù)，把不等式
f（1+x）+f（x-x²）＞0變形后由單調(diào)性去掉“f”，求解不等式組得答案．

解答： 解：∵f′（x）=2+cosx＞0，
∴函數(shù)f（x）在定義域（-2，2）內(nèi)為增函數(shù)，
由f′（x）=2+cosx，可得f（x）=2x+sinx．
∴函數(shù)f（x）為定義域上的奇函數(shù)且在x=0處有定義．
由f（1+x）+f（x-x²）＞0，得
f（1+x）＞-f（x-x²）=f（x²-x）．
則

-2＜1+x＜2 -2＜x2-x＜2 1+x＞x2-x

，解得：1-

2

＜x＜1．
∴滿(mǎn)足f（1+x）+f（x-x²）＞0的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（1-

2

，1）．
故答案為：（1-

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了不等式組的解法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．