Question

1．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個焦點，A為橢圓的右頂點，B為橢圓的上頂點．若在線段AB（不含端點）上存在不同的兩個點A₁，A₂，使得△F₁A₁F₂和△F₁A₂F₂均為以F₁F₂為斜邊的直角三角形，則橢圓的離心率的取值范圍為（　�。�

• A． （$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1）
• C． （0，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）
• D． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）

Answer 1

分析 由題意作圖輔助，從而可轉(zhuǎn)化為以F₁F₂為直徑的圓與線段AB有兩個交點（不含端點），從而化為c＜b且圓心到直線bx+ay-ab=0的距離d＜c，從而解得．

解答 解：由題意作圖如右，
若△F₁A₁F₂和△F₁A₂F₂均為以F₁F₂為斜邊的直角三角形，
則以F₁F₂為直徑的圓與線段AB有兩個交點（不含端點），
故c＜b，故e＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∵直線AB的方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1，即bx+ay-ab=0，
∴圓心到直線bx+ay-ab=0的距離d=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$＜c，
即ab＜c$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
即a⁴-3a²c²+c⁴＜0，
即1-3e²+e⁴＜0，
故$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$＜e²＜$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$；
故$（\frac{\sqrt{5}-1}{2}）^{2}$＜e²＜$（\frac{\sqrt{5}+1}{2}）^{2}$；
故$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故e∈（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
故選：A．

點評 本題考查了橢圓與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，同時考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．