20.已知M=$\frac{{C}_{2015}^{0}}{1}$-$\frac{{C}_{2015}^{1}}{2}$+$\frac{{C}_{2013}^{2}}{3}$-$\frac{{C}_{2015}^{3}}{4}$+…+$\frac{{C}_{2015}^{2014}}{2015}$-$\frac{{C}_{2015}^{2015}}{2016}$,則M的值為$\frac{1}{2016}$.

分析 展開二項式(1-x)2015,然后兩邊取0到1上的積分得答案.

解答 解:∵$(1-x)^{2015}={C}_{2015}^{0}-{C}_{2015}^{1}x+{C}_{2015}^{2}{x}^{2}$$-{C}_{2015}^{3}{x}^{3}+…+$${C}_{2015}^{2014}{x}^{2014}-{C}_{2015}^{2015}{x}^{2015}$,
兩邊取積分得:
${∫}_{0}^{1}(1-x)^{2015}dx$=${∫}_{0}^{1}({C}_{2015}^{0}-{C}_{2015}^{1}x+{C}_{2015}^{2}{x}^{2}-{C}_{2015}^{3}{x}^{3}+…+{C}_{2015}^{2014}{x}^{2014}-{C}_{2015}^{2015}{x}^{2015})dx$,
即$(\frac{{C}_{2015}^{0}x}{1}-\frac{{C}_{2015}^{1}{x}^{2}}{2}+…+\frac{{C}_{2015}^{2014}{x}^{2015}}{2015}-\frac{{C}_{2015}^{2015}{x}^{2016}}{2016}){|}_{0}^{1}$=$-\frac{1}{2016}(1-x)^{2016}{|}_{0}^{1}$,
∴M=$\frac{{C}_{2015}^{0}}{1}$-$\frac{{C}_{2015}^{1}}{2}$+$\frac{{C}_{2015}^{2}}{3}$-$\frac{{C}_{2015}^{3}}{4}$+…+$\frac{{C}_{2015}^{2014}}{2015}$-$\frac{{C}_{2015}^{2015}}{2016}$=$\frac{1}{2016}$,
故答案為:$\frac{1}{2016}$.

點評 本題考查組合及組合數(shù)公式,考查了利用定積分求組合數(shù)的值,是中檔題.

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