Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（α＞b＞0）的右焦點(diǎn)到直線x-y+3$\sqrt{2}$=0的距離為5，且橢圓的一個(gè)長(zhǎng)軸端點(diǎn)與一個(gè)短軸端點(diǎn)間的距離為$\sqrt{10}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使得過Q的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且滿足$\frac{1}{Q{A}^{2}}$+$\frac{1}{Q{B}^{2}}$為定值？若存在，請(qǐng)求出定值，并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，以及兩點(diǎn)的距離公式和a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q（m，0），使得過Q的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且滿足$\frac{1}{Q{A}^{2}}$+$\frac{1}{Q{B}^{2}}$為定值．設(shè)過Q的直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），代入橢圓方程，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)整理，再由同角的平方關(guān)系，解方程可得m，即可判斷存在Q．

解答 解：（1）右焦點(diǎn)F（c，0）到直線x-y+3$\sqrt{2}$=0的距離為5，
可得$\frac{|c-0+3\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=5，解得c=2$\sqrt{2}$，
由題意可得a²+b²=10，又a²-b²=8，
解得a=3，b=1，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1；
（2）假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)Q（m，0），使得過Q的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，
且滿足$\frac{1}{Q{A}^{2}}$+$\frac{1}{Q{B}^{2}}$為定值．
設(shè)過Q的直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
代入橢圓方程x²+9y²=9，可得t²（cos²α+9sin²α）+2mcosα•t+m²-9=0，
可得△=（2mcosα）²-4（cos²α+9sin²α）（m²-9）＞0，
t₁t₂=$\frac{{m}^{2}-9}{co{s}^{2}α+9si{n}^{2}α}$，t₁+t₂=-$\frac{2mcosα}{co{s}^{2}α+9si{n}^{2}α}$，
則$\frac{1}{Q{A}^{2}}$+$\frac{1}{Q{B}^{2}}$=$\frac{1}{{{t}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{t}_{2}}^{2}}$=$\frac{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-2{t}_{1}{t}_{2}}{（{t}_{1}{t}_{2}）^{2}}$=$\frac{4{m}^{2}co{s}^{2}α-2（{m}^{2}-9）（co{s}^{2}α+9si{n}^{2}α）}{（{m}^{2}-9）^{2}}$，
=$\frac{2（{m}^{2}+9）co{s}^{2}α+18（9-{m}^{2}）si{n}^{2}α}{（{m}^{2}-9）^{2}}$為定值，
即有2（m²+9）=18（9-m²），解得m=±$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
代入判別式顯然成立．
故在x軸上存在點(diǎn)Q（±$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，0），使得過Q的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，
且滿足$\frac{1}{Q{A}^{2}}$+$\frac{1}{Q{B}^{2}}$為定值10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，考查直線參數(shù)方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和參數(shù)的幾何意義，考查恒成立思想的運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．