Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且${a_1}=1，{a_n}=\frac{{2{S_n}^2}}{{2{S_n}-1}}（{n≥2}）$，則S₂₀₁₆=$\frac{1}{4031}$．

Answer 1

分析 ${a_1}=1，{a_n}=\frac{{2{S_n}^2}}{{2{S_n}-1}}（{n≥2}）$，可得（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2${S}_{n}^{2}$，化為：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：∵${a_1}=1，{a_n}=\frac{{2{S_n}^2}}{{2{S_n}-1}}（{n≥2}）$，
∴（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2${S}_{n}^{2}$，
化為：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1．
∴S_n=$\frac{1}{2n-1}$．
則S₂₀₁₆=$\frac{1}{2×2016-1}$=$\frac{1}{4031}$．
故答案為：$\frac{1}{4031}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．