Question

13．下列函數(shù)中滿足$f（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}（{x_1}≠{x_2}）$的是（　　）

• A． f（x）=3x+2
• B． $f（x）=\sqrt{x}$
• C． $f（x）=-{（\frac{1}{2}）^x}$
• D． f（x）=x²+x+1

Answer 1

分析 可用圖表示滿足$f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）＜\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$的圖象，從而由圖象看出滿足該條件的函數(shù)為下凸函數(shù)，從而判斷每個(gè)選項(xiàng)函數(shù)的圖象是否下凸即可．

解答 解：如圖，

可看出滿足$f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）＜\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$的函數(shù)為下凸函數(shù)；
根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)函數(shù)的圖象便可看出只有選項(xiàng)D的二次函數(shù)為下凸函數(shù)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查滿足條件$f（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）＜\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$的函數(shù)為下凸函數(shù)，并能夠用圖象加以說(shuō)明，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，要熟悉一次函數(shù)，二次函數(shù)，及指數(shù)函數(shù)，$y=\sqrt{x}$的圖象，以及函數(shù)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)變換．