12.設(shè)區(qū)域D:{(x,y)|x+y≤1,x-y≥0,y≥0}.
(Ⅰ)在直角坐標(biāo)系中作出區(qū)域D的圖形并求出其面積;
(Ⅱ)若z=ax+by(b>a>0),(x,y)∈D的最大值為1,求$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$的最小值;
(Ⅲ)若(m,n)∈D,比較雙曲線C1:$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{(n-1)^{2}}$=1和C2:$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{(m-1)^{2}}$=1的離心率e1,e2的大小.

分析 (Ⅰ)利用二元一次不等式組表示平面區(qū)域進(jìn)行作圖即可.
(Ⅱ)利用線性規(guī)劃的知識(shí),結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解.
(Ⅲ)求出雙曲線的離心率,利用作差法進(jìn)行比較即可.

解答 解:(Ⅰ)作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖:陰影部分,
(Ⅱ)由z=ax+by(a>0,b>0)得y=$-\frac{a}x+\frac{z}$,
∵b>a>0,
∴直線y=$-\frac{a}x+\frac{z}$的斜率-$\frac{a}$∈(-1,0),且截距最大時(shí),z也最大.
平移直線y=$-\frac{a}x+\frac{z}$,由圖象可知當(dāng)y=$-\frac{a}x+\frac{z}$經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),
直線的截距最大,此時(shí)z也最大.
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=1}\\{x-y=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$,即A($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$),
此時(shí)z=$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$b=1,
則$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$=($\frac{4}{a}$+$\frac{1}$)($\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$b)=2+$\frac{1}{2}$+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{2b}$≥$\frac{5}{2}$+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{a}{2b}}$=$\frac{5}{2}$+2=$\frac{9}{2}$,
即$\frac{4}{a}$+$\frac{1}$的最小值是$\frac{9}{2}$.
(Ⅲ)若(m,n)∈D,
則0<m<1,0<n<$\frac{1}{2}$,
則雙曲線C1:$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{(n-1)^{2}}$=1中,a2=m2,b2=(n-1)2,
則c2=m2+(n-1)2,e12=$\frac{{m}^{2}+(n-1)^{2}}{{m}^{2}}$=1+$\frac{(n-1)^{2}}{{m}^{2}}$
在C2:$\frac{{x}^{2}}{{n}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{(m-1)^{2}}$=1中,a2=n2,b2=(m-1)2,
則c2=n2+(m-1)2,e22=$\frac{{n}^{2}+(m-1)^{2}}{{n}^{2}}$=1+$\frac{(m-1)^{2}}{{n}^{2}}$,
則e12-e22=1+$\frac{(n-1)^{2}}{{m}^{2}}$-1-$\frac{(m-1)^{2}}{{n}^{2}}$=$\frac{(n-1)^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{(m-1)^{2}}{{n}^{2}}$=$\frac{{n}^{2}(n-1)^{2}-{m}^{2}(m-1)^{2}}{{m}^{2}{n}^{2}}$=$\frac{({n}^{2}-n)^{2}-({m}^{2}-m)^{2}}{{n}^{2}{m}^{2}}$
=$\frac{{(n}^{2}-n+{m}^{2}-m)({n}^{2}-n-{m}^{2}+m)}{{n}^{2}{m}^{2}}$=$\frac{[n(n-1)+m(m-1)](n-m)(n+m-1)}{{n}^{2}{m}^{2}}$,
∵0<m<1,0<n<$\frac{1}{2}$,
∴n(n-1)+m(m-1)<0,
∵(m,n)∈D,∴m+n≤1,m-n≥0,
∴m+n-1≤0,
則$\frac{[n(n-1)+m(m-1)](n-m)(n+m-1)}{{n}^{2}{m}^{2}}$≥0,
即e12-e22≥0,則e12≥e22,
即e1≥e2

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合以及基本不等式進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)生的運(yùn)算能力,綜合性較去年,難度較大.

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