Question

4．動點(diǎn)P為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上異于橢圓頂點(diǎn)A（a，0），B（-a，0）的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，動圓M與線段F₁P、F₁F₂的延長線及線段PF₂相切，則圓心M的軌跡為除去坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的（　　）

• A． 拋物線
• B． 橢圓
• C． 雙曲線的右支
• D． 一條直線

Answer 1

分析 畫出圓M，切點(diǎn)分別為E、D、G，由切線長相等定理知F₁G=F₁E，PD=PE，F(xiàn)₂D=F₂G，根據(jù)橢圓的定義知PF₁+PF₂=2a，PF₁+PF₂=F₁E+DF₂（PD=PE）=F₁G+F₂D（F₁G=F₁E）=F₁G+F₂G=2a，由此入手知M點(diǎn)的軌跡是垂直于x軸的一條直線（除去A點(diǎn)）．

解答 解：如圖畫出圓M，切點(diǎn)分別為E、D、G，
由切線長相等定理知F₁G=F₁E，PD=PE，F(xiàn)₂D=F₂G，
根據(jù)橢圓的定義知PF₁+PF₂=2a，
即有PF₁+PF₂=F₁E+DF₂（由于PD=PE）
=F₁G+F₂D（由于F₁G=F₁E）
=F₁G+F₂G=2a，
即為2F₂G=2a-2c，F(xiàn)₂G=a-c，
即點(diǎn)G與點(diǎn)A重合，
即有點(diǎn)M在x軸上的射影是長軸端點(diǎn)A，
M點(diǎn)的軌跡是垂直于x軸的一條直線（除去A點(diǎn)）．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的定義，以及圓的切線長定理的運(yùn)用，考查推理能力，屬于中檔題．