Question

16．已知點(diǎn)F為拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)A（2，m）在拋物線E上，且|AF|=3，
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)G（-1，0），延長AF交拋物線E于點(diǎn)B，證明：以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．

Answer 1

分析 解法一：（I）由拋物線定義可得：|AF|=2+$\frac{p}{2}$=3，解得p．即可得出拋物線E的方程．
（II）由點(diǎn)A（2，m）在拋物線E上，解得m，不妨取A$（2，2\sqrt{2}）$，F(xiàn)（1，0），可得直線AF的方程，與拋物線方程聯(lián)立化為2x²-5x+2=0，解得B$（\frac{1}{2}，-\sqrt{2}）$．又G（-1，0），計(jì)算k_GA，k_GB，可得k_GA+k_GB=0，∠AGF=∠BGF，即可證明以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．
解法二：（I）同解法一．
（II）由點(diǎn)A（2，m）在拋物線E上，解得m，不妨取A$（2，2\sqrt{2}）$，F(xiàn)（1，0），可得直線AF的方程，與拋物線方程聯(lián)立化為2x²-5x+2=0，解得B$（\frac{1}{2}，-\sqrt{2}）$．又G（-1，0），可得直線GA，GB的方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：點(diǎn)F（1，0）到直線GA、GB的距離，若相等即可證明此以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．

解答 解法一：（I）由拋物線定義可得：|AF|=2+$\frac{p}{2}$=3，解得p=2．
∴拋物線E的方程為y²=4x；
（II）證明：∵點(diǎn)A（2，m）在拋物線E上，
∴m²=4×2，解得m=$±2\sqrt{2}$，不妨取A$（2，2\sqrt{2}）$，F(xiàn)（1，0），
∴直線AF的方程：y=2$\sqrt{2}$（x-1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{2}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為2x²-5x+2=0，解得x=2或$\frac{1}{2}$，B$（\frac{1}{2}，-\sqrt{2}）$．
又G（-1，0），∴k_GA=$\frac{2\sqrt{2}-0}{2-（-1）}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$．k_GB=$\frac{-\sqrt{2}-0}{\frac{1}{2}-（-1）}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴k_GA+k_GB=0，
∴∠AGF=∠BGF，∴x軸平分∠AGB，
因此點(diǎn)F到直線GA，GB的距離相等，
∴以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．
解法二：（I）同解法一．
（II）證明：點(diǎn)A（2，m）在拋物線E上，∴m²=4×2，解得m=$±2\sqrt{2}$，不妨取A$（2，2\sqrt{2}）$，F(xiàn)（1，0），
∴直線AF的方程：y=2$\sqrt{2}$（x-1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{2}（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為2x²-5x+2=0，解得x=2或$\frac{1}{2}$，B$（\frac{1}{2}，-\sqrt{2}）$．
又G（-1，0），可得直線GA，GB的方程分別為：$2\sqrt{2}$x-3y+2$\sqrt{2}$=0，$2\sqrt{2}x+3y+2\sqrt{2}$=0，
點(diǎn)F（1，0）到直線GA的距離d=$\frac{|2\sqrt{2}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$，
同理可得點(diǎn)F（1，0）到直線GB的距離=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{17}}$．
因此以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查拋物線、直線與拋物線及其圓的位置關(guān)系及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，屬于難題．