Question

6．已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁=2，b₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N^*），b₁+$\frac{1}{2}$b₂+$\frac{1}{3}$b₃+…+$\frac{1}{n}$b_n=b_n+1-1（n∈N^*）
（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）記數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接由a₁=2，a_n+1=2a_n，可得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
再由b₁=1，b₁+$\frac{1}{2}$b₂+$\frac{1}{3}$b₃+…+$\frac{1}{n}$b_n=b_n+1-1，取n=1求得b₂=2，當(dāng)n≥2時(shí)，得另一遞推式，作差得到$\frac{1}{n}_{n}=_{n+1}-_{n}$，整理得數(shù)列{$\frac{_{n}}{n}$}為常數(shù)列，由此可得{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求出${a}_{n}_{n}=n•{2}^{n}$，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

解答 解：（Ⅰ）由a₁=2，a_n+1=2a_n，得${a}_{n}={2}^{n}（n∈{N}^{*}）$．
由題意知，當(dāng)n=1時(shí)，b₁=b₂-1，故b₂=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，b₁+$\frac{1}{2}$b₂+$\frac{1}{3}$b₃+…+$\frac{1}{n-1}_{n-1}$=b_n-1，和原遞推式作差得，
$\frac{1}{n}_{n}=_{n+1}-_{n}$，整理得：$\frac{_{n+1}}{n+1}=\frac{_{n}}{n}$，
∴$_{n}=n（n∈{N}^{*}）$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，${a}_{n}_{n}=n•{2}^{n}$，
因此${T}_{n}=2+2•{2}^{2}+3•{2}^{3}+…+n•{2}^{n}$
$2{T}_{n}={2}^{2}+2•{2}^{3}+3•{2}^{4}+…+n•{2}^{n+1}$，
兩式作差得：$-{T}_{n}=2+{2}^{2}+…+{2}^{n}-n•{2}^{n+1}=\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n•{2}^{n+1}$，
${T}_{n}=（n-1）•{2}^{n+1}+2$（n∈N^*）．

點(diǎn)評 本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列和等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查數(shù)列求和等基本思想方法，以及推理論證能力，是中檔題．