Question

5．設(shè)a₁，a₂，…，a_n∈R，n≥3．若p：a₁，a₂，…，a_n成等比數(shù)列；q：（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）（a₂²+a₃²+…+a_n²）=（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n）²，則（　�。�

• A． p是q的充分條件，但不是q的必要條件
• B． p是q的必要條件，但不是q的充分條件
• C． p是q的充分必要條件
• D． p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件

Answer 1

分析 運用柯西不等式，可得：（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）（a₂²+a₃²+…+a_n²）≥（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n）²，討論等號成立的條件，結(jié)合等比數(shù)列的定義和充分必要條件的定義，即可得到．

解答 解：由a₁，a₂，…，a_n∈R，n≥3．
運用柯西不等式，可得：
（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）（a₂²+a₃²+…+a_n²）≥（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n）²，
若a₁，a₂，…，a_n成等比數(shù)列，即有$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=…=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，
則（a₁²+a₂²+…+a_n-1²）（a₂²+a₃²+…+a_n²）=（a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n）²，
即由p推得q，
但由q推不到p，比如a₁=a₂=a₃=…=a_n=0，則a₁，a₂，…，a_n不成等比數(shù)列．
故p是q的充分不必要條件．
故選：A．

點評 本題考查充分必要條件的判斷，同時考查等比數(shù)列的定義，注意運用定義法和柯西不等式解題是關(guān)鍵．