Question

8．已知$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{AC}，|{\overrightarrow{AB}}|=\frac{1}{t}，|{\overrightarrow{AC}}|=t$，若P點(diǎn)是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且$\overrightarrow{AP}=\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}+\frac{{4\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}$，則$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$的最大值等于（　�。�

• A． 13
• B． 15
• C． 19
• D． 21

Answer 1

分析 建系，由向量式的幾何意義易得P的坐標(biāo)，可化$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=-4（$\frac{1}{t}$-4）-（t-1）=17-（4•$\frac{1}{t}$+t），由基本不等式可得．

解答 解：由題意建立如圖所示的坐標(biāo)系，
可得A（0，0），B（$\frac{1}{t}$，0），C（0，t），
∵$\overrightarrow{AP}=\frac{{\overrightarrow{AB}}}{{|{\overrightarrow{AB}}|}}+\frac{{4\overrightarrow{AC}}}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}$，∴P（1，4），
∴$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{1}{t}$-1，-4），$\overrightarrow{PC}$=（-1，t-4），
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$=-4（$\frac{1}{t}$-4）-（t-1）=17-（4t+$\frac{1}{t}$），
由基本不等式可得$\frac{1}{t}$+4t≥2$\sqrt{\frac{1}{t}•4t}$=4，
∴17-（4t+$\frac{1}{t}$）≤17-4=13，
當(dāng)且僅當(dāng)4t=$\frac{1}{t}$即t=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)，
∴$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}$的最大值為13，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，涉及基本不等式求最值，屬中檔題．