Question

19．設數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，求其通項公式．

Answer 1

分析 a_n＞0，2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，可得${S}_{n}=（\frac{{a}_{n}+1}{2}）^{2}$，當n=1時，化為${a}_{1}=（\frac{{a}_{1}+1}{2}）^{2}$，解得a₁．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化簡利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．

解答 解：∵a_n＞0，2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，
∴${S}_{n}=（\frac{{a}_{n}+1}{2}）^{2}$，
當n=1時，化為${a}_{1}=（\frac{{a}_{1}+1}{2}）^{2}$，解得a₁=1．
∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$（\frac{{a}_{n}+1}{2}）^{2}$-$（\frac{{a}_{n-1}+1}{2}）^{2}$，
化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項為1，公差為2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴a_n=2n-1．

點評 本題考查了遞推式的應用、等差數(shù)列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．