Question

7．在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=a+sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是ρcos（θ-$\frac{π}{6}$）=1．
（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角差的余弦展開(kāi)，代入x=ρcosθ，y=ρsinθ求得答案；
（2）化圓的參數(shù)方程為普通方程，求出圓心到直線的距離，結(jié)合勾股定理求得實(shí)數(shù)a的值．

解答 解：（1）由ρcos（θ-$\frac{π}{6}$）=1，得$ρcosθcos\frac{π}{6}+ρsinθsin\frac{π}{6}=1$，
即$\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ+\frac{1}{2}ρsinθ=1$，∴$\sqrt{3}x+y-2=0$；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=a+sinφ}\end{array}\right.$，得x²+（y-a）²=1．
圓心（0，a）到直線$\sqrt{3}x+y-2=0$的距離為$\frac{|a-2|}{2}$，
又直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為$\sqrt{3}$，∴$\frac{（a-2）^{2}}{4}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}=1$，整理得：a=1或a=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程化普通方程，考查極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，考查了直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．