Question

8．若實數(shù)x，y滿足x²+y²=1，則$\frac{xy+1}{x+y-1}$的取值范圍是（-∞，1-$\sqrt{2}$]∪（$\sqrt{2}$+1，+∞）．

Answer 1

分析 令x=cosθ，y=sinθ，θ∈[0，2π），x+y=t=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]．則$\frac{xy+1}{x+y-1}$化簡為$\frac{t-1}{2}$+$\frac{1}{t-1}$+1，再令m=t-1∈[-$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$-1]，且m≠0，再利用函數(shù)的單調性求得它的范圍，綜合可得結論．

解答 解：∵實數(shù)x，y滿足x²+y²=1，可令x=cosθ，y=sinθ，
θ∈[0，2π），
則x+y=t=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，則xy=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
則 $\frac{xy+1}{x+y-1}$=$\frac{sinθcosθ+1}{sinθ+cosθ-1}$=$\frac{\frac{{t}^{2}-1}{2}+1}{t-1}$=$\frac{{t}^{2}+1}{2（t-1）}$=$\frac{{（t-1）}^{2}+2（t-1）+2}{2（t-1）}$
=$\frac{t-1}{2}$+$\frac{1}{t-1}$+1．
令m=t-1∈[-$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$-1]，m≠0，則式子$\frac{xy+1}{x+y-1}$=$\frac{m}{2}$+$\frac{1}{m}$+1．
令f（m）=$\frac{m}{2}$+$\frac{1}{m}$+1，m∈[-$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$-1]，且m≠0，如圖所示：
由于f′（m）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{m}^{2}}$，
①故當m∈[-$\sqrt{2}$-1，-$\sqrt{2}$）時，f′（m）＞0，f（m）單調遞增；
②故當m∈[-$\sqrt{2}$，0）時，f′（m）＜0，f（m）單調遞減；
③故當m∈（0，$\sqrt{2}$-1]時，f′（m）＜0，f（m）單調遞減．
又當m=-$\sqrt{2}$-1時，f（m）=$\frac{3-3\sqrt{2}}{2}$；當m=-$\sqrt{2}$時，f（m）=1-$\sqrt{2}$；
當m趨于0時，f（m）趨于±∞；當m=$\sqrt{2}$-1時，f（m）=$\frac{3+3\sqrt{2}}{2}$，
結合函數(shù)f（m）的圖象，
可得m的范圍為：：（-∞，1-$\sqrt{2}$]∪（$\sqrt{2}$+1，+∞），
故答案為：（-∞，1-$\sqrt{2}$]∪（$\frac{3+3\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

點評 本題考查三角恒等變換，函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系，求函數(shù)的最值，考查計算能力，屬于難題．