Question

19．已知集合A={x|3＜x＜10}，B={x|x²-9x+14＜0}，C={x|5-m＜x＜2m}．
（Ⅰ）求A∩B，（∁_RA）∪B；
（Ⅱ）若x∈C是x∈（A∩B）的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由x²-9x+14＜0，解得2＜x＜7，可得B，A∩B，由集合A={x|3＜x＜10}，可得∁_RA={x|x≤3，或x≥10}，利用并集的運(yùn)算性質(zhì)可得：（∁_RA）∪B．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A∩B={x|3＜x＜7}，由x∈C是x∈（A∩B）的充分不必要條件，可得：C?（A∩B）．對(duì)C與∅的關(guān)系、對(duì)m分類討論即可得出．

解答 解：（I）由x²-9x+14＜0，解得2＜x＜7，∴B={x|2＜x＜7}．
∴A∩B={x|3＜x＜7}，
∵集合A={x|3＜x＜10}，∴∁_RA={x|x≤3，或x≥10}，
∴（∁_RA）∪B={x|x＜7，或x≥10}．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A∩B={x|3＜x＜7}，
∵x∈C是x∈（A∩B）的充分不必要條件，∴C?（A∩B）．
①當(dāng)C=∅時(shí)，滿足C?（A∩B），此時(shí)5-m≥2m，解得$m≤\frac{5}{3}$；
②當(dāng)C≠∅時(shí)，要使C?（A∩B），當(dāng)且僅當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{5-m＜2m}\\{5-m＞3}\\{2m＜7}\end{array}\right.$，解得$\frac{5}{3}＜m≤2$．
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-∞，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了集合的運(yùn)算性質(zhì)、分類討論方法、不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．