Question

18．已知正三棱柱（底面是正三角形，側(cè)棱垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為2，側(cè)棱AA₁=2，則異面直線AB₁與BC₁所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)A作AC的垂線為x軸，以AC為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AB₁與BC₁所成角的余弦值．

解答 解：∵正三棱柱（底面是正三角形，側(cè)棱垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為2，
側(cè)棱AA₁=2，
∴異面直線AB₁與BC₁所成角的余弦值，
∴以A為原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)，過點(diǎn)A作AC的垂線為x軸，以AC為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意，A（0，0，0），B₁（$\sqrt{3}$，1，2），
B（$\sqrt{3}$，1，0）C₁（0，2，2），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}，1，2$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），
設(shè)異面直線AB₁與BC₁所成角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{A{B}_{1}}，\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$|=|$\frac{-3+1+4}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$|=$\frac{1}{4}$．
∴異面直線AB₁與BC₁所成角的余弦值為$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．