Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+mx+$\frac{3}{4}$（m∈R），若任意的x₀∈R，f（x₀）和f（x₀+1）至少有一個(gè)為非負(fù)值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是-2≤m≤2．

Answer 1

分析 作差可知x₀≥-$\frac{m+1}{2}$時(shí)，f（x₀+1）≥f（x₀）．從而化為f（x₀+1）=（x₀+1）²+m（x₀+1）+$\frac{3}{4}$=x₀²+（m+2）x₀+$\frac{7}{4}$+m在x₀≥-$\frac{m+1}{2}$，f（x₀+1）_min=（-$\frac{m+1}{2}$+$\frac{m+2}{2}$）²+$\frac{7}{4}$+m-（$\frac{m+2}{2}$）²≥0恒成立，可得|m|≤2，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵f（x₀+1）-f（x₀）=（x₀+1）²+m（x₀+1）+$\frac{3}{4}$-（x₀²+mx₀+$\frac{3}{4}$）=2x₀+m+1，
∴當(dāng)2x₀+m+1≥0，即x₀≥-$\frac{m+1}{2}$時(shí)，f（x₀+1）≥f（x₀）．
而f（x₀+1）=（x₀+1）²+m（x₀+1）+$\frac{3}{4}$=x₀²+（m+2）x₀+$\frac{7}{4}$+m，
∵-$\frac{m+1}{2}$＞-$\frac{m+2}{2}$，
∴f（x₀+1）_min=（-$\frac{m+1}{2}$+$\frac{m+2}{2}$）²+$\frac{7}{4}$+m-（$\frac{m+2}{2}$）²≥0恒成立，
即m²≤4恒成立，
故|m|≤2，
∴-2≤m≤2．
故答案為：-2≤m≤2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分類討論的思想應(yīng)用及作差法的應(yīng)用，屬于中檔題．