Question

7．如圖$∠ABC=\frac{π}{4}，O$為AB上一點，且3OB=3OC=2AB，又PO⊥平面ABC，2DA=2AO=PO，且DA∥PO．
（1）求證：平面PBD⊥平面COD；
（2）求PD與平面BDC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）設OA=1，利用勾股定理得出PD⊥OD，由OC⊥平面ABPD得出OC⊥PD，于是PD⊥平面COD，從而有平面PBD⊥平面COD；
（2）以O為原點建立坐標系，求出$\overrightarrow{PD}$和平面BCD的法向量$\overrightarrow{n}$，則PD與平面BDC所成的角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{PD}$＞|．

解答 證明：（1）設OA=AD=1，則OB=OC=OP=2，
∵AD∥PO，PO⊥平面ABC，
∴AD⊥平面ABC，∴AD⊥AO．∴OD=$\sqrt{2}$，PD=$\sqrt{2}$
又PO=2，∴PD²+OD²=PO²，∴PD⊥OD．
∵OB=OC，$∠ABC=\frac{π}{4}$，∴OC⊥AB．
∵PO⊥平面ABC，OC?平面ABC，
∴PO⊥AB，又AB?平面ABPD，OP?平面ABPD，AB∩OP=O，
∴OC⊥平面ABPD，∵PD?平面ABPD，
∴OC⊥PD，
又OC?平面COD，DO?平面COD，OC∩OD=O，
∴PD⊥平面COD，∵PD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面COD．
（2）以O為原點，以OC，OB，OP為坐標軸建立空間直角坐標系O-xyz，
則P（0，0，2），B（0，2，0），C（2，0，0），D（0，-1，1）．
∴$\overrightarrow{PD}$=（0，-1，-1），$\overrightarrow{BC}$=（2，-2，0），$\overrightarrow{BD}$=（0，-3，1）．
設平面BCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-2y=0}\\{-3y+z=0}\end{array}\right.$，令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，1，3），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PD}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PD}|}$=$\frac{-4}{\sqrt{11}•\sqrt{2}}$=-$\frac{2\sqrt{22}}{11}$．
∴PD與平面BDC所成的角的正弦值為$\frac{2\sqrt{22}}{11}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，空間向量的應用與線面角的計算，屬于中檔題．