Question

15．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，當x＞0時，f′（x）＞0．若實數(shù)t滿足f（log₂t+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$t）≤2f（2），則t的取值范圍是[$\frac{1}{4}$，4]．

Answer 1

分析 由于函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），f（log₂t）+f（-log₂t）≤2f（2），即有f（|log₂t|）≤f（2），再由f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增，得到|log₂t|≤2，即有-2≤log₂t≤2，解出即可．

解答 解：由于函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
則f（-x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），
由實數(shù)a滿足f（log₂t）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$t）≤2f（2），
則有f（log₂t）+f（-log₂t）≤2f（2），
即2f（log₂t）≤2f（2）即f（log₂t）≤f（2），
即有f（|log₂t|）≤f（2），
由于f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調遞增，
則|log₂t|≤2，即有-2≤log₂t≤2，
解得：$\frac{1}{4}$≤t≤4．
故答案為：[$\frac{1}{4}$，4]．

點評 本題考查函數(shù)的性質和運用，考查函數(shù)的奇偶性、單調性和運用，考查對數(shù)不等式的解法，考查運算能力，屬于中檔題．