Question

12．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（\;a＞b＞0\;）$的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂在x軸上，P為此橢圓上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足$∠P{F_1}{F_2}=\frac{π}{6}，∠PO{F_2}=\frac{π}{3}$，則此橢圓的離心率是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$-1
• B． $\sqrt{3}$-1
• C． 2$\sqrt{2}$-2
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 利用直角三角形的邊角關(guān)系、橢圓的定義及其性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵$∠P{F_1}{F_2}=\frac{π}{6}，∠PO{F_2}=\frac{π}{3}$，∴∠F₁PF₂=$\frac{π}{2}$．
可得：|PF₂|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|=c，|PF₁|=$\sqrt{3}$c，
∴|PF₂|+|PF₁|=c+$\sqrt{3}$c=2a，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．