Question

7．正方體ABCD-A′B′C′D′棱長為1
（1）證明：面A′BD∥面B′CD′
（2）求點B′到面A′BD的距離．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形BB′D′D是平行四邊形，可得D′B′∥面A′BD，同理證明B′C∥面A′BD，從而利用兩個平面平行的判定定理證得面A′BD∥面B′CD′．
（2）利用等體積法，求點B′到面A′BD的距離．

解答 （1）證明：∵B′B平行且等于A′A，A′A平行且等于D′D，
∴B′B平行且等于D′D，
∴四邊形BB′D′D是平行四邊形，
∴D′B′∥DB，
∵D′B′?面A′BD，DB?面A′BD，
∴D′B′∥面A′BD，
同理B′C∥面A′BD，
∵D′B′∩B′C=B′，
∴面A′BD∥面B′CD′．
（2）解：設點B′到面A′BD的距離為h，則
∵△A′BD的面積S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴由等體積可得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}$h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$，∴h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題主要考查直線和平面平行、平面和平面平行的判定定理的應用，考查點到平面的距離，屬于中檔題．