Question

15．已知點A（m，0）和雙曲線x²-y²=1右支上的兩個動點B，C，在點B，C的運動過程中，若存在三個等邊△ABC，則實數(shù)m的取值范圍是（$\sqrt{6}$，+∞）∪（-∞，-$\sqrt{6}$）．

Answer 1

分析 討論當(dāng)直線BC與x軸垂直時，對任一個m，均有ABC為等邊三角形；設(shè)直線BC的方程為y=kx+t（k≠0），代入雙曲線的方程，運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式、以及兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，結(jié)合等邊三角形的高與邊長的關(guān)系，由不等式的性質(zhì)，計算即可得到所求范圍．

解答 解：當(dāng)直線BC與x軸垂直時，對任一個m，均有ABC為等邊三角形；
設(shè)直線BC的方程為y=kx+t（k≠0），代入雙曲線的方程，可得
（1-k²）x²-2ktx-t²-1=0，
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），可得
判別式為4k²t²+4（1-k²）（t²+1）＞0，即t²+1-k²＞0，
x₁+x₂=$\frac{2kt}{1-{k}^{2}}$＞0，x₁x₂=-$\frac{1+{t}^{2}}{1-{k}^{2}}$＞0，可得k²＞1．
均有BC的中點M為（$\frac{kt}{1-{k}^{2}}$，$\frac{t}{1-{k}^{2}}$），
|BC|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{4{k}^{2}{t}^{2}}{（1-{k}^{2}）^{2}}+\frac{4（1+{t}^{2}）}{1-{k}^{2}}}$，
由AM⊥BC，可得k_AM=-$\frac{1}{k}$，
均有$\frac{t}{kt-m+m{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$，均有2kt=m（1-k²），
即t=$\frac{m（1-{k}^{2}）}{2k}$，①
由A到直線BC的距離為d=$\frac{|km+t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{4{k}^{2}{t}^{2}}{（1-{k}^{2}）^{2}}+\frac{4（1+{t}^{2}）}{1-{k}^{2}}}$，
兩邊平方，將①代入，化簡可得，m²=$\frac{6{k}^{2}}{{k}^{2}-1}$=6+$\frac{6}{{k}^{2}-1}$＞6，
即有m＞$\sqrt{6}$或m＜-$\sqrt{6}$．
由雙曲線的對稱性可得，范圍內(nèi)有一個m，即有兩個k的值，以及k不存在的情況．
故答案為：（$\sqrt{6}$，+∞）∪（-∞，-$\sqrt{6}$）．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，注意運用對稱性，討論直線的斜率不存在和存在，聯(lián)立直線方程和雙曲線的方程，運用韋達(dá)定理和中點坐標(biāo)公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．