Question

12．若二項(xiàng)式（2x⁴-$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N₊）的展開式中含有x³的項(xiàng)，則n的最小值是6．

Answer 1

分析 根據(jù)二項(xiàng)式（2x⁴-$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ展開式的通項(xiàng)公式，令展開式含x項(xiàng)的指數(shù)為3，求出r與n的關(guān)系，再求滿足條件的最小正整數(shù)即可．

解答 解：二項(xiàng)式（2x⁴-$\frac{1}{{x}^{3}}$）ⁿ（n∈N₊）展開式的通項(xiàng)公式為：
T_r+1=C_n^r•（2x⁴）^n-r•${（-\frac{1}{{x}^{3}}）}^{r}$=（-1）^r•2^n-r•C_n^r•x^4n-7r；
令4n-7r=3，
即7r=4n-3，
解得r=$\frac{4n-3}{7}$，
所以4n-3是7的倍數(shù)；
所以滿足條件的最小正整數(shù)是6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題．解題的關(guān)鍵是利用展開式中x的指數(shù)等于3，求出r和n的關(guān)系．是基礎(chǔ)題目．