Question

7．已知$\overrightarrow{a\;}、\;\;\overrightarrow b$均為單位向量，且$\overrightarrow a•\;\overrightarrow b=0$．若$|{\overrightarrow c-4\overrightarrow a}|+|{\overrightarrow c-3\overrightarrow b}|=5$，則$|{\overrightarrow c+\overrightarrow a}|$的取值范圍是（　�。�

• A． $[{3，\;\;\sqrt{10}}]$
• B． [3，5]
• C． [3，4]
• D． $[{\sqrt{10}，\;\;5}]$

Answer 1

分析 由題意建立平面直角坐標(biāo)系，得到$\overrightarrow{a\;}、\;\;\overrightarrow b$的坐標(biāo)，設(shè)出$\overrightarrow{c}$的坐標(biāo)，代入$|{\overrightarrow c-4\overrightarrow a}|+|{\overrightarrow c-3\overrightarrow b}|=5$，由其幾何意義可得$\overrightarrow{c}$的終點(diǎn)的軌跡，再由$|{\overrightarrow c+\overrightarrow a}|$的幾何意義求得取值范圍．

解答 解：∵$\overrightarrow{a\;}、\;\;\overrightarrow b$均為單位向量，且$\overrightarrow a•\;\overrightarrow b=0$．
∴設(shè)$\overrightarrow{a}=（1，0），\overrightarrow=（0，1）$，再設(shè)$\overrightarrow{c}=（x，y）$，
代入$|{\overrightarrow c-4\overrightarrow a}|+|{\overrightarrow c-3\overrightarrow b}|=5$，得$\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}=5$．
即（x，y）到A（4，0）和B（0，3）的距離和為5，
∴$\overrightarrow{c}$的終點(diǎn)軌跡是點(diǎn)（4，0）和（0，3）之間的線段，
$|{\overrightarrow c+\overrightarrow a}|$=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，表示M（-1，0）到線段AB上點(diǎn)的距離，
最小值是點(diǎn)（-1，0）到直線3x+4y-12=0的距離．
∴$|\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}{|}_{min}$=$\frac{|-3-12|}{5}=3$．
最大值為|MA|=5．
∴$|{\overrightarrow c+\overrightarrow a}|$的取值范圍是[3，5]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、兩點(diǎn)之間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離等，關(guān)鍵是利用坐標(biāo)法解答，屬中檔題．