Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，sinx-cosx），$\overrightarrow$=（cosx，$\sqrt{3}$（cosx+sinx）），f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+1．
（1）當(dāng)x$∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$時(shí)，求f（x）的值域，并求其對(duì)稱中心；
（2）若將f（x）向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位得到函數(shù)g（x），再將g（x）關(guān)于直線y=2對(duì)稱，求所得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用向量的數(shù)量積公式求出f（x）的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的平移關(guān)系求出g（x），利用函數(shù)的對(duì)稱性求出對(duì)稱函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，sinx-cosx），$\overrightarrow$=（cosx，$\sqrt{3}$（cosx+sinx）），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+1=2sinxcosx+$\sqrt{3}$（cosx+sinx）（sinx-cosx）+1
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x+1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
若x$∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，則2x∈（$\frac{π}{2}$，π），2x-$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$），
則2sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈（2sin$\frac{π}{6}$，2sin$\frac{π}{2}$]，
即2sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈（1，2]，
則2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1∈（2，3]，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，3]，
由2x-$\frac{π}{3}$=kπ，得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
即函數(shù)的對(duì)稱中心為（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，0），k∈Z．
（2）若將f（x）向左平移$\frac{π}{4}$個(gè)單位得到函數(shù)g（x）=f（x+$\frac{π}{4}$）=2sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{3}$]+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
設(shè)g（x）上點(diǎn)（x₁，y₁）關(guān)于直線y=2對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=x}\\{\frac{{y}_{1}+y}{2}=2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=x}\\{{y}_{1}=4-y}\end{array}\right.$，代入g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
得4-y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
即y=3-2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和三角函數(shù)性質(zhì)的考查，利用向量數(shù)量積的公式以及三角函數(shù)的圖象關(guān)系，求出相應(yīng)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．