Question

17．已知圓$A：{（x+\sqrt{2}）^2}+{y^2}=12$，圓A內(nèi)一定點$B（\sqrt{2}，0）$，圓P過點B且與圓A內(nèi)切．
（Ⅰ）求圓心P的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線y=kx+2與點P的軌跡交于C，D兩點．問是否存在常數(shù)k，使得以CD為直徑的圓過坐標原點O，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設動圓圓心P，半徑為r，利用兩圓相切內(nèi)切，兩圓心距和兩半徑之間的關(guān)系列出PA和PB的關(guān)系式，正好符合橢圓的定義，利用定義法求軌跡方程即可．
（Ⅱ）假設存在這樣的k，則直線方程可得與橢圓方程聯(lián)立根據(jù)判別式求得k的范圍，設出C，D點坐標，則根據(jù)韋達定理可表示出x₁+x₂和x₁x₂，當且僅當OC⊥OD時，以CD為直徑的圓過原點O（0，0），求得y₁y₂+x₁x₂=0，根據(jù)直線方程和x₁x₂的表達式求得y₁y₂，建立等式求得k．

解答 解：（Ⅰ）設動圓圓心P（x，y），半徑為r，⊙A的圓心為A（-$\sqrt{2}$，0），半徑為2$\sqrt{3}$，
又因為動圓過點B，所以r=PB，
若動圓P與⊙A相內(nèi)切，則有PA=2$\sqrt{3}$-r=2$\sqrt{3}$-PB，即PA+PB=2$\sqrt{3}$＞AB=2$\sqrt{2}$
故P點的軌跡為以A和B為焦點的橢圓，且a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，所以b²=a²-c²=1
所以動圓圓心的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1；
（Ⅱ）假設存在這樣的k，
由直線y=kx+2與點P的軌跡方程聯(lián)立，消去y，得（1+3k²）x²+12kx+9=0
則△=（12k）²-36（1+3k²）＞0①
設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9}{1+3{k}^{2}}$
當且僅當OC⊥OD時，以CD為直徑的圓過原點O（0，0），
即y₁y₂+x₁x₂=0
而y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4．
∴（k²+1）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0． ③
將②式代入③整理解得k=±$\frac{\sqrt{39}}{3}$
經(jīng)驗證，k=±$\frac{\sqrt{39}}{3}$，使①成立
綜上可知，存在k=±$\frac{\sqrt{39}}{3}$，使得以CD為直徑的圓過原點O（0，0）．

點評 本題考查兩圓的位置關(guān)系的應用和定義法求軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，綜合性較強．