Question

6．已知函數(shù)f（x）=（x²-3x）e^x．
（1）求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）當(dāng)k＜1時(shí)，判斷方程$\frac{xf（x）}{{e}^{x}}$+x=kx-4的實(shí)根個(gè)數(shù)，并證明．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，再由點(diǎn)斜式方程，可得切線的方程；
（2）由題意可得原方程即為x³-3x²+（1-k）x+4=0，令g（x）=x³-3x²+（1-k）x+4，討論x≤0，x＞0，求出導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)的存在定理，即可得到證明．

解答 解：（1）f（x）=（x²-3x）e^x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=（x²-x-3）e^x，
即有f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=-3e，
切點(diǎn)為（1，-2e），切線的方程為y+2e=-3e（x-1），
即為y=-3ex+e；
（2）當(dāng)k＜1時(shí)，方程$\frac{xf（x）}{{e}^{x}}$+x=kx-4，即為x³-3x²+（1-k）x+4=0，
令g（x）=x³-3x²+（1-k）x+4，由k＜1，可得1-k＞0，
當(dāng)x≤0時(shí)，g′（x）=3x²-6x+1-k＞0，g（x）在（-∞，0]遞增，
g（-1）=k-1＜0，g（0）=4＞0，g（x）在x≤0時(shí)有一個(gè)實(shí)根；
當(dāng)x＞0時(shí)，令h（x）=x³-3x²+4，h′（x）=3x²-6x，
可得h（x）在x=2處取得極小值，且為0，又（1-k）x＞0，
則g（x）=0在x＞0時(shí)，無實(shí)根．
綜上可得，g（x）=0僅有一個(gè)實(shí)根，即原方程實(shí)根個(gè)數(shù)為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)和單調(diào)性的方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．