Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ）與向量$\overrightarrow$=（1，1）的夾角為$\frac{π}{6}$，則sin2θ=（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的關(guān)系進(jìn)行化簡得到cosθ+sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，然后平方即可求sin2θ的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ）與向量$\overrightarrow$=（1，1），
∴|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=$\sqrt{2}$，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=（cosθ，sinθ）•（1，1）=cosθ+sinθ，
∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ）與向量$\overrightarrow$=（1，1）的夾角為$\frac{π}{6}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cos$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即cosθ+sinθ=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
平方得1+2sinθcosθ=$\frac{6}{4}$，
即sin2θ=$\frac{1}{2}$，
故選：C

點評 本題主要考查三角函數(shù)的化簡和求值以及向量數(shù)量積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．